Алгоритмы определения кратчайших расстояний на графе

Интерес к задаче поиска кратчайших расстояний объясняется тем, что эта задача является одним из этапов в решении большинства задач, связанных с грузовыми перевозками. При этом в ходе решения задач, связанных с оптимизацией грузовых перевозок, приходится многократно определять кратчайшие расстояния между вершинами графа. Поэтому от быстродействия алгоритмов определения кратчайших расстояний между вершинами графа в большой степени зависит время решения всей задачи в целом.

Сформулируем задачу о кратчайшем пути. Пусть дан связанный граф, имеющий R вершин и N ориентированных дуг, причем каждой дуге поставлено в соответствие неотрицательное число Cij называемое ее длиной. Требуется найти на графе кратчайшие пути и их длины от заданной вершины Io до всех остальных вершин этого графа. Под длиной кратчайшего пути при этом подразумевается сумма длин составляющих этот путь дуг. В каждую вершину графа может входить только одна дуга, принадлежащая какому-нибудь кратчайшему пути.

Все специальные алгоритмы решения этой задачи являются итерационными, в которых на каждой итерации наращивается или корректируется уже построенное к этому множество кратчайших путей между вершинами графа.

Большинство этих алгоритмов могут быть разбиты на две группы.

В алгоритмах первой группы уже построенное к данной итерации множество кратчайших путей остается неизменным, при этом на каждой итерации к этому множеству добавляется одна дуга, т. е. находится кратчайший путь до очередной вершины. Задача решается за R-1 итерацию.

В алгоритмах второй группы построенное множество кратчайших путей может многократно корректироваться на последующих итерациях. Именно эти алгоритмы являются наиболее эффективными, когда количество вершин достаточно велико.

Для нахождения оптимального решения задачи можно применять методы, позволяющие рассчитать кратчайшие пути вручную или с использованием ЭВМ.

Метод потенциалов для определения кратчайших расстояний заключается в следующем. Начальной вершине сети, за которую может быть принята любая из вершин, присваивают потенциал, равный нулю. Затем определяют потенциалы соседних с начальной точкой вершин сети. Значение потенциала равно расстоянию до вершины. Выбирают наименьший потенциал и присваивают его соответствующей вершине. Затем вычисляют потенциалы вершин, соседних с выбранной, и снова выбирают наименьший потенциал и присваивают его соответствующей вершине и т.д.

Полное решение задачи включает в себя столько этапов, сколько вершин имеет транспортная сеть, поскольку на каждом этапе определяют потенциал или кратчайшее расстояние от начальной точки до одной из вершин сети.

Метод «метлы» является методом решения этой задачи при помощи ЭВМ. Определение кратчайшего расстояния от заданной вершины, принятой за начальную точку сети, до всех остальных вершин сети ведется путем построения однотипных таблиц.

На любом этапе вычислений кратчайших расстояний от заданной вершины все вершины сети разбиваются на три множества:

- множество 1 — вершины, кратчайшие расстояния до которых уже определены;

- множество 2 — вершины соседние (т.е. связанные дугой) с вершинами, расстояние до которых уже определено;

- множество 3 — все остальные вершины. Суть метода сводится к следующему.

1. Выбирается начальная вершина сети, расстояние от которой до остальных вершин необходимо определить. Этой вершине присваивают расстояние, равное 0, остальным вершинам присваивают расстояние, равное М (очень большое число).

2. Затем выбирают вершину, расстояние до которой минимально. Эту вершину переводят в первое множество и вычисляют расстояния до соседних с ней вершин. Если вычисленное расстояние меньше того, что указано в таблице, в таблицу заносят вновь вычисленное расстояние.

3. Процесс повторяют до тех пор, пока все вершины не будут переведены в первое множество.

Источник: Грузовые автомобильные перевозки: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / А. Э. Горев. — 5-е изд., испр. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — С. 185-187 (288 с.)